不变子空间的推广及其特征向量

 时间:2018-06-02 23:15:22 贡献者:维普网

导读:㊀36 卷 ㊀ 第 11 期 第 2017 年 11 月Journal of Mianyang Teachers College绵 阳 师 范 学 院 学 报 ’Vol. 36㊀ No. 11 ㊀ No

常用的生物特征
常用的生物特征

㊀36 卷 ㊀ 第 11 期 第 2017 年 11 月Journal of Mianyang Teachers College绵 阳 师 范 学 院 学 报 ’Vol. 36㊀ No. 11 ㊀ Nov. 2017,不 变 子 空 间 的 推 广 及 其 特 征 向 量㊀ 742500 ) ( 陇 南 师 范 高 等 专 科 学 校 数 信 学 院 ,甘 肃 成 县 ㊀ 要 .本 摘 :特 征 向 量 是 向 量 空 间 中 一 个 非 常 重 要 的 概 念 , 它 在 现 代 物 理 、 工 程 技 术 等 方 面 有 着 广 泛 的 应 用 文 S 不 .进 变 子 空 间 与 特 征 向 量 之 间 的 关 系 而 , 讨 论 了 中 心 不 变 子 空 间 给 对 不 变 子 空 间 的 概 念 进 行 了 推 广 , 讨 论 了 . 中 特 征 向 量 的 个 数 问 题 关 键 词 :向 量 空 间 ;不 变 子 空 间 ;S 不 变 子 空 间 ;特 征 向 量 2017 ) 11002103 中 图 分 类 号 :O151 21㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 文 献 标 志 码 :A㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 文 章 编 号 :1672612X(- -李 煜 彦0㊀引 言1 2 3不 变 子 空 间 是 线 性 变 换 中 一 个 非 常 重 要 的 概 念 , 它 在 解 决 矩 阵 的 特 征 根 、 矩 阵 的 对 角 化 等 方 面 起 着 举 足 [ ] 轻 重 的 作 用. 而 现 代 物 理 、 工 程 技 术 等 中 的 许 多 数 学 问 题 都 归 结 了 求 特 征 跟 和 特 征 向 量 问 题 , 近 年 来 , 有 ,汪 一 聪 和 汪 立 民 研 究 了 矩 阵 向 量 空 间 上 线 性 许 多 作 者 关 注 了 线 性 空 间 的 特 征 根 和 特 征 向 量 问 题 ,2012 年 [ ] [ ] 2016 年 2017 年 变 换 的 对 角 化; ,杨 闻 起 研 究 了 特 征 值 在 高 等 代 数 中 的 作 用; , 鲍 四 元 研 究 了 一 类 三 对 角 [ ] [ ] 而 关 于 不 变 子 空 间 的 问 题 也 有 一 些 研 究 成 果 , 以 上 作 者 考 虑 的 问 题 对 向 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 等, 文 对 向 量 空 间 进 行 了 限 定 , 以 不 变 子 空 间 的 概 念 为 基 础 , 定 义 了 变 子 空 间 , 它 量 空 间 没 有 特 殊 要 求 .本 S-不 S 不 变 子 空 间 与 特 征 向 量 之 间 的 关 系 ,讨 论 了 中 心 不 变 子 空 间 中 特 征 向 量 的 是 不 变 子 空 间 的 推 广 , 研 究 了 个 数 问 题 . 除 特 别 说 明 外 ,V 指 数 域 向 量 空 间 , 指 数 域 向 量 空 间 全 体 线 性 变 换 构 成 的 集 合 , F上 L( V) F上 V的 S指 数 域 的 向 量 空 间 具 有 特 殊 性 质 的 全 体 线 性 变 换 所 成 的 集 合 , 〈 指 由 成 的 子 空 间 F上 V的 . α〉 α生 [ ] 数 域 的 向 量 空 间 , 则 称 幂 等 变 换 1 ㊀ 设 V是 F上 V) .若 V的 . 定 义 σ∈L ( σ = σ, σ是 [ ] 2 ㊀ 设 V是 F上 V) .若 F中 V的 数 域 的 向 量 空 间 , 对 的 数 存 在 一 个 非 零 向 量 使 得 定 义 σ∈L( λ, ξ, 则 称 线 性 变 换 特 征 值 , 为 属 于 本 征 值 特 征 向 量 . σ( ξ)= λξ, λ是 σ的 ξ称 σ的 λ的 数 域 的 向 量 空 间 具 有 特 殊 性 质 的 全 体 线 性 变 换 所 成 的 集 合 , 一 个 子 3㊀ 设 S是 F上 V的 W是 V的 定 义 空 间 , 称 变 子 空 间 , 如 果 对 任 意 都 有 W是 V的 S -不 W) σ∈S , σ( W. 特 别 的 ,若 } , 则 变 子 空 间 称 为 中 心 不 变 子 空 间 ; 若 S ={ V) | στ = τσ, V) V的 S 不 V的 S σ∈L ( τ ∈L ( , 则 变 子 空 间 称 为 幂 等 不 变 子 空 间 ; 若 , 则 变 子 空 间 ={ V) | σ = σ} V的 S 不 V的 S = L( V) V的 S 不 σ∈L ( 称 为 全 不 变 子 空 间 V的 . W是 V的 S 不 W是 V的 V本 V的 S 不 显 然 , 若 变 子 空 间 ,则 不 变 子 空 间 ; 向 量 空 间 身 和 零 子 空 间 是 S 不 . 变 子 空 间 ;全 不 变 子 空 间 一 定 是 变 子 空 间4 5 -6 - F 1 1 2 - 2 - - - - -1㊀主 要 结 论复 数 域 的 向 量 空 间 , 〈 是 变 子 空 间 当 且 仅 当 对 任 意 1㊀ 设 V是 F上 0 ≠α∈V. 则 V的 S 不 定 理 α〉 σ ∈ S,-2017 - 09 - 20 收 稿 日 期 : 师 范 高 等 专 科 学 校 校 级 科 研 项 目 ( 基 金 项 目 : 2016LSZK02002 )  作 者 简 介 : 1983 — . 李 煜 彦 ( ) , 男 , 甘 肃 西 和 人 , 硕 士 ,讲 师 , 研 究 方 向 : 环 模 理 论

不变子空间的推广及其特征向量

-A λI - A X 0 ( X = = ( ), λI - A ) ( ) ( 0 λI - A ) 0 0 ( 非 零 解 向 量 即 X 是 X =0 的 . λI - A ) 取 … , … , … , X =( X ∈W,则 α=( α , α , α, α , α ) α , α , α ) … , … , … , X =( AX = σ( α)= σ( α , α , α, α , α ) α , α , α ) ( … , ( … , X = λα α , α , α ) λX )= λ ( α , α , α ) 即 属 于 特 征 根 一 个 特 征 向 量 , 从 而 结 论 得 证 . α是 σ的 λ的 [ ] … , … , 互 不 同 的 特 征 根 , 且 属 于 特 3 ㊀ 设 V) .若 引 理 λ , λ , λ ∈F , σ∈L ( λ , λ , λ 是 σ的 σ的 λ 的 征 向 量 … , 性 无 关 … , 则 … , … , … , 性 无 关 i = 1, 2, t, . α , α , α 线 α , α , α , α , α , α 线 数 域 的 向 量 空 间 , } 以 下 结 论 成 立 : 4㊀ 设 V是 F上 S ={ V) | στ = τσ, V) .则 定 理 σ∈L ( τ ∈L ( ( 对 任 意 是 中 心 不 变 子 空 间 ; 1) Imσ 和 Kerσ 都 V的 σ∈S , ( 2) V ={ V中 对 任 意 及 每 一 个 特 征 值 特 征 子 空 间 是 心 不 变 子 空 σ∈S 以 σ的 λ, λ的 ξ∈V | σ( ξ)= λξ} 间 ; ㊀ ( 1) .由 S中 对 任 意 任 意 存 在 使 得 于 的 元 素 可 交 换 , 故 证 明 τ ∈S , ξ∈Imσ, α∈V, ξ = σ( α) Imσ) Imσ 是 V的 . )= σ( ) 因 此 即 中 心 不 变 子 空 间 τ( ξ)= τ( σ( α) τ( α) ∈Imσ, τ( Imσ, 对 任 意 任 意 )= τ( )= τ( 此 中 心 0 )= 0 ,因 Kerσ 是 V的 τ ∈S , η∈Kerσ, σ( τ( η) σ( η) τ( η)  Kerσ,即 不 变 子 空 间 . ( 对 任 意 任 意 )= τ( )= τ( , 即 从 而 心 不 2) V 是 V中 τ ∈S , ξ∈V , σ( τ( ξ) σ( ξ) λξ)= λτ( ξ) τ( ξ) ∈V , . 变 子 空 间 数 域 的 向 量 空 间 , } 以 下 结 论 成 立 : 5㊀ 设 V是 F上 S ={ V) | στ = τσ, V) .则 定 理 σ∈L ( τ ∈L (01 0 r 1 3 01 n 0 n-r 2 0 n 1 2 r r +1 n 0 1 2 n 01 0 1 2 r r +1 0 n 1 2 n 0 1 2 n 1 2 n 0 4 1 2 t 1 2 t i i1 i2 is i 11 12 1 s1 t1 t2 ts t λ λ λ λ第 绵 阳 师 范 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 36 卷 ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ · · 22㊀ . 一 个 特 征 向 量 α是 σ的 ㊀ 必 ㊀ 设 V的 S-不 要 性 〈α〉是 变 子 空 间 , 则 对 任 意 是 存 在 使 得 证 明 σ ∈ S, σ( α) ∈〈 α 〉于 λ ∈ F, 又 因 此 属 于 特 征 根 一 个 特 征 向 量 . σ( α)= λα, α≠0 , α是 σ的 λ的 充 分 性 任 意 设 属 于 特 征 根 一 个 特 征 向 量 取 〈 中 的 一 个 向 ㊀ 对 .则 σ∈S , α是 σ的 λ的 σ( α)= λα. 任 α〉 量 有 kα, k ∈F , kα)= kσ( kλ ) σ( α)= k( λα)= ( α∈〈 α〉 所 以 〈 V的 S -不 . 是 变 子 空 间 α〉 复 数 域 的 向 量 空 间 , 且 变 子 空 间 , 则 任 意 包 2㊀ 设 V是 F上 dimV = n. 若 W是 V的 S -不 W必 定 理 σ∈S , 含 一 个 特 征 向 量 . σ的 ㊀ 令 dimW = r. 证 明 取 一 个 基 … , 基 的 扩 充 定 理 知 , 可 以 将 基 扩 充 为 基 … , … , W的 W的 V的 α, α, α ,由 α, α, α, α , α . W) 对 任 意 由 于 有 σ∈S , σ( ∈W. 故 A A … , … , … , σ( α , α , α, α , α )= ( α , α , α ) (0 A) =( A … , α , α , α ) A A A= W的 .在 F上 A( i = 1, 2 )的 A 其 中 于 基 … , 矩 阵 复 数 域 特 征 根 也 是 σ| 关 α , α , α 的 ( 0 A ) ,A 是 X 是 X =0 一 . 的 特 征 根 , 取 其 中 的 一 个 为 令 ( 个 非 零 解 向 量 λ, λI - A ) X 取 X = ( 0 )则1 2 r 1 2 r r +1 n 1 3 2 1 2 r r +1 n 1 2 n 1 2 n 1 3 2 1 W 1 2 r i 01 r 1

不变子空间的推广及其特征向量

 
 

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